线性代数示例

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

解题步骤 1

该转换定义了从 $ℝ^{2}$ 到 $ℝ^{2}$ 的映射。若要证明该转换是线性转换，必须证明该转换满足标量乘法、加法和零向量。

M： $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

解题步骤 2

首先证明变换将保留此性质。

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

解题步骤 3

建立两个矩阵以验证加法性质仍然存在于 $M$ 。

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

解题步骤 4

将两个矩阵相加。

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

解题步骤 5

对矢量进行转换。

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

解题步骤 6

通过变量分组，将结果分解为两个矩阵。

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

解题步骤 7

变换的加法性质有效。

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

解题步骤 8

为保证变换为线性变换，必须支持标量乘法。

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

解题步骤 9

从每一元素对 $p$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $p$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

解题步骤 9.2

对矢量进行转换。

解题步骤 9.3

重新排列 $p y$ 。

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

解题步骤 9.4

通过乘以 $p y$ 对元素 $0, 0$ 进行因式分解。

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

解题步骤 10

线性转换的第二性质已保留在此转换中。

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

解题步骤 11

为保证变换为线性变换，必须保留零向量。

$M (0) = 0$

解题步骤 12

对矢量进行转换。

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 13

化简矩阵中的每一个元素。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

重新排列 $0$ 。

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 13.2

重新排列 $0$ 。

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 14

零向量在该转换中得到保持。

$M (0) = 0$

解题步骤 15

因为不满足线性变换的所有三个性质，所以此变换不是线性变换。

线性变换

线性代数 示例

线性代数示例